有効数字 ── 掛け算・足し算の答えは何桁？

中学校の数学の解説には、こう書かれています。「測定には誤差が伴う。誤差とは，測定値と真の値の差である。」

例えば身長計で157.4cm と読めたとき、解説は「ある生徒の身長の測定値が157.4㎝ということは，真の値が，157.35㎝以上157.45㎝未満の間にあることを意味する。」と続けます。

このページの道具も、入れた数をこの考え方で読みます。2.3なら2.25以上 2.35未満、4.5なら4.45以上 4.55未満のどこかです。

日本電気計器検定所のコラムは、測った数の計算について「有効数字の概念で、『9』と『9.0』では意味が異なります。」と書いています。

続けて「『9.0』と書かれた場合は、8.95以上、9.05未満のどこかの数値を丸めた結果が『9.0』であり、『9』と書かれた場合は、8.5以上9.5未満のどこかの数値を丸めた結果が『9』である」と説明しています。

図のように、9.0 の範囲は 9 の範囲の10分の1の幅です。終わりの0は、そこまで測ったという印です。

2.3と4.5を掛けると、計算機は10.35と出します。でも2つとも測った数なら、真の値の範囲は2.25×4.45＝10.0125以上、2.35×4.55＝10.6925未満です。小数第1位の数字も0から6まで動きます。

同じ目もりでかくと、もとの数の範囲は幅0.1、掛けた答えの範囲は幅0.68、足した答えの範囲は幅0.2です。

掛けた答えの範囲の幅の半分0.34は、4.5×0.05＋2.3×0.05と同じです。ずれの割合は、2.3が約2.2%、4.5が約1.1%、掛けた答えが約3.3%（0.34÷10.35）。掛け算では割合がほぼ足され、足し算ではずれの大きさ（0.05＋0.05）がそのまま足されます。そこで掛け算は有効数字の桁数で、足し算はいちばん下の桁の位でそろえる規則がよく使われます。

コラムの文は「和と差の有効数字は、最小桁の位が最も高い数値に合わせます。」「積と商の有効数字は、有効数字の桁数が最も少ない数値に合わせます。」です。割り算は掛け算と、引き算は足し算と同じ規則です。

たて12.4cm・横3.03cm・高さ2.35cm の箱の体積を、有効数字3桁で出します。

掛けるたびに3桁に丸めると、どの2つを先に掛けるかで、答えが3通りに分かれました。途中を4桁で持つと、どの順でも88.3です。

このページの道具は、途中で丸めずに計算してから、最後に1回だけ丸めます。

中学校学習指導要領は、数学の3年に「内容の『Ａ数と式』の⑴などに関連して，誤差や近似値，a×10ⁿの形の表現を取り扱うものとする。」と書いています。平方根の単元に付いた決まりです。

この内容は、いまの指導要領で中学1年から3年へ移りました（解説の「移行された内容」の表）。前の指導要領（平成20年告示）では中学1年でした。

「有効数字」の語は解説に出てきます。2300 m の例では「測定値として2300ｍが得られたとき，この値が十の位の数字まで信頼できるならば，一の位の０は位を示しているに過ぎないので，これを2300ｍではなく2.30×10³ｍのように表す。」とあります。高校では、物理基礎の解説に「測定誤差や実験の精度，有効数字などを考慮した基本的なデータの扱い」という言葉があります。