図形の面積と体積

数を入れると図が変わります。 どこが底辺でどこが高さなのか、式と図と入力欄が同じ色でつながります。

台形の式ひとつで、三角形も平行四辺形も出せます

このページでいちばん見てほしいのは台形です。 台形の面積は（上底＋下底）× 高さ ÷ 2。 ここで上底のつまみを 0 まで下げてみてください。

形は三角形になります。 そして式は（0＋下底）× 高さ ÷ 2、つまり下底 × 高さ ÷ 2 ── 三角形の式そのものです。

今度は上底を下底と同じ数にしてください。 形は平行四辺形になり、式は（下底＋下底）× 高さ ÷ 2、つまり下底 × 高さ ── 平行四辺形の式になります。

公式が3つあるのではありません。台形の式という1つの式の、特別な場合が三角形と平行四辺形です。 覚えるものが3分の1になります。

高さは、斜めの辺の長さではありません

いちばん多い取り違えがここです。高さは底辺と垂直に測ります。斜めの辺ではありません。この道具では高さを破線で描いているので、 どこを測っているかが見えます。

平行四辺形で「かたむき」のつまみを動かしてみてください。 形はぐにゃぐにゃ変わるのに、面積は1ミリも変わりません。 式に「かたむき」が出てこないからです。三角形のてっぺんの位置も同じで、横に動かしても面積は変わりません。

てっぺんを底辺の外まで動かすと、高さの破線が図形の外に出ます。 それでも面積は変わりません。高さは「底辺をのばした線」までの長さだからです。ここは図が無いと分かりにくいところなので、動かして確かめてください。

とがっている立体は、3分の1になります

円錐は円柱の3分の1、角錐は角柱の3分の1です。 底面の大きさと高さが同じなら、いつでもちょうど3分の1になります。

確かめ方はかんたんで、円錐の形の容器で水をくんで、円柱へ移すだけです。ちょうど3杯で満ちます。 この道具でも、半径と高さをどう変えても比が3分の1から動かないことを確かめられます。

球は「ぴったり入る円柱の3分の2」です

球の式は覚えにくいのですが、覚え方があります。 その球がぴったり入る円柱（半径が同じで、高さが直径）を考えると、球はその3分の2です。

アルキメデスが見つけた関係です。よほど嬉しかったのか、自分の墓に球と円柱の図を刻ませたと伝えられています。 数の上でも確かめられるので、上の道具で球と円柱を見比べてみてください。

面積と体積の式は、どれも数学として証明されているもので、出典を要する種類の数字ではありません。 このページで気をつけたのは式の見せ方のほうです。 台形と三角形と平行四辺形の関係、円錐と円柱の3分の1、球と円柱の3分の2は、検査で固定してあります（どの数を入れても関係が崩れないことを、機械が毎回確かめています）。 台形の呼び方が場所によって違うことは、どちらか一方だけを「正しい」と書かない方針にしました。

面積は、正方形が何こ分かを数えることから始まります

1辺が1センチメートルの正方形を、すきまなく敷きつめます。その正方形が何こあるかを数えた数が、面積です。長方形なら、正方形が行儀よく並びます。だから1こずつ数えなくても、かけ算でまとめて数えられます。小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編は「単位正方形が規則正しく並んでいるので，乗法を用いると，手際よく個数を求めることができる」と書いています。たて×よこという式は、数え方の近道です。

国が決めた単位も、同じところから始まっています。計量法にもとづく計量単位令は、面積の単位「平方メートル」を「辺の長さが一メートルの正方形の面積」と定めています。体積の「立方メートル」は「辺の長さが一メートルの立方体の体積」です。正方形と立方体そのものが、広さとかさのものさしになっています。

同じ解説には、こんな報告ものっています。国際的な調査で、長方形の「まわりの長さ」をたずねたのに、面積を答えてしまう誤りが見つかった、というものです。まわりの長さは、辺をぐるりとたした長さ。面積は、正方形が何こ分かの広さ。1つの長方形から、別の量が2つ出てきます。

出どころ: 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編（新しいタブで開きます）（第4学年）と 計量単位令（新しいタブで開きます）（別表第一）の原文。

この形を習うのは何年生か、順番が決まっています

上に並んでいる形は、学校で習う順にならべ直すことができます。

小学校学習指導要領（平成29年告示）は、学年ごとに習う内容を決めています。第4学年が「正方形及び長方形の面積の計算による求め方」。第5学年が「三角形，平行四辺形，ひし形，台形の面積の計算による求め方」と「立方体及び直方体の体積の計算による求め方」。第6学年が「円の面積の計算による求め方」と「基本的な角柱及び円柱の体積の計算による求め方」です。

四角錐と円錐と球は、その先にあります。中学校学習指導要領（平成29年告示）の第1学年に「基本的な柱体や錐体，球の表面積と体積を求めること」と書かれています。この道具のいちばん後ろに並んでいる3つは、中学校で出会う形です。先に動かしておくと、習う日に「見たことがある」から始められます。

第6学年には、もう1つおもしろい内容があります。「身の回りにある形について，その概形を捉え，およその面積などを求めること」。きちんとした四角形でも円でもない形を、近い形に見立てて、だいたいの面積を出す。ぴったりの答えにしない求め方が、学ぶ内容として決められています。

出どころ: 小学校学習指導要領（平成29年告示）（新しいタブで開きます）（第4学年・第5学年・第6学年 B図形）と 中学校学習指導要領（平成29年告示）（新しいタブで開きます）（第1学年 B図形）の原文。

直方体の式は、1段分 × 段の数です

3つの数をかけているように見えて、意味は2段がまえです。

1辺1センチメートルの立方体を、箱の底いっぱいに並べます。その1段分の個数が、たて×よこ。それを何段積み上げるかが、3つめの数です。小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編は「単位体積の立方体をきちんと敷き詰めた１段分の個数を（縦）×（横），その段の個数を（高さ）でそれぞれ表すことができる」と書いています。かけ算の3つの数には、それぞれ役目があります。

この2段がまえは、そのまま先へつながります。解説は、これが「第６学年の角柱や円柱の体積の求積方法に活用される」と書いています。三角柱も円柱も、まず底の面の面積を出して、それを積み上げるところは同じです。上の道具で式を見ると、三角柱は底の三角形の面積に長さを、円柱は底の円の面積に高さをかけています。

円柱の高さだけを動かしてみてください。底の円はそのままで、高さを2倍、3倍にすると、体積も2倍、3倍になります。解説はここを比例の学習につなげるところだとして、「高さが２倍，３倍，４倍，…になるときの体積の変化を考えさせる」ことをすすめています。

出どころ: 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編（新しいタブで開きます）（第5学年）の原文。

長さが100倍になると、面積は10000倍になります

単位を大きいものに取りかえたとき、数の変わり方でつまずきます。

1メートルは100センチメートルです。では1平方メートルは、何平方センチメートルでしょうか。たても100倍、よこも100倍になるので、面積は100×100で10000倍になります。小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編は、このつまずきをはっきり書いています。「計算の上では，１平方メートル＝10000平方センチメートルであると分かっていても，長さの単位換算での経験から類推して，１平方メートル＝100平方センチメートルと誤ってしまう児童もいる」。

広い土地には、広い土地のための単位があります。計量単位令は「土地の面積の計量」という欄に2つの単位を並べ、アールを「平方メートルの百倍」、ヘクタールを「アールの百倍」と定めています。1アールは1辺10メートルの正方形、1ヘクタールは1辺100メートルの正方形と同じ広さです。小学校学習指導要領（平成29年告示）も第4学年について「アール（a），ヘクタール（ha）の単位についても触れるものとする」と定めています。

解説は、その理由も書いています。「田や畑などの面積を表す場合に平方メートルを単位とすると数値が大きくなるので，アール（a），ヘクタール（ha）の単位を使うと便利であることが分かるよう配慮する」。単位は、数が読みやすい大きさになるように選ぶもの。広さが変われば、ものさしも取りかえます。

出どころ: 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編（新しいタブで開きます）と 小学校学習指導要領（平成29年告示）（新しいタブで開きます）（第4学年）、 計量単位令（新しいタブで開きます）と 計量法（新しいタブで開きます）（e-Gov 法令検索）の原文。