○×ゲーム（三目並べ）

ポタモと3もく。4もく（5×5）と5もく（9×9）、先手・後攻も選べます。先手は有利だけれど、先手必勝ではありません。

⭐ 全部数えました ── 先手は有利です

ここから下の数は、すべて3もく（3×3）の話です。 広い盤については、さらに下の節に書いています。

3もくは盤が小さいので、全部の試合を数え切れます。 だからここに書く数は、どこかから持ってきたものではなくその場で最後まで指して数えた結果です。

両方が好きなように置いた試合は、ぜんぶで 255,168通りありました。

先手が勝つ試合は、後手が勝つ試合の1.7倍あります。 先手が有利だというのは本当です。

⭐ この不利は、上の「あなたの手番」で後攻を選ぶと体で分かります。相手を「よわい」（でたらめに置く）にして何回か遊んでみてください。 先手のときより勝ちにくいはずです ── それがこの1.7倍の中身です。 そのうえで「さいきょう」に変えると、後攻でも引き分けに持ち込めます。 単体テストはどちらの側が読み切っても負けないことを、 考えられる指し方すべてでたどって確かめています。

⭐⭐ それでも「先手必勝」ではありません

ここが、このページでいちばん伝えたいところです。「有利」と「必ず勝てる」はまったく別の話です。

上の数え方はでたらめに置いたときの話でした。 では、両方が最後まで最善を尽くしたらどうなるか。 これも数え切れます ── 答えは 引き分けです。 どちらも勝てません。

なぜそうなるのかは、逆から考えると分かります。 3つならべる並びは8本しかなく、ますは9つしかありません。そろえるには3手かかるのに、相手はその間に1手ずつ止めに来られます。 だから「2か所同時にリーチをかける」以外に勝ち筋が無く、 相手がそれを見落とさなければ、盤が埋まって終わります。 読み切るかわりに計算で必勝法が書けるゲームもあって、石取りゲーム（ニム）は2進のけたごとに1の個数を偶数にそろえて相手に渡せば必ず勝てます。

この「必ず引き分け」は、言い伝えではなく数えた結果です。 このページの単体テストが、人がどんな置き方をしても読み切る側が負けないことを、 考えられる指し方すべてでたどって確かめています。 「さいきょう」に勝てないと書けるのは、それを確かめたからです。

⭐ しかも、初手はどこに置いてもかまいません

「まん中を取らないと負ける」とよく言われます。 ところが読み切って調べると、9つのますのどこに置いても引き分けにできます（＝どこも最善です）。

まん中が良いと言われるのは、相手が間違えたときに勝ちやすいからです。 まん中は 4本 の並びに関わっていて、角は 3本、辺は 2本です。 関わる並びが多いほど、相手のすきを突ける形が増えます ──でも、それは「勝てる」ではなく「勝ちやすい」です。

⭐ 盤を1つ広げるだけで、もう読み切れません

ここまでは3もく（3×3）の話でした。 上の「遊び方」で4もくや5もくに変えられますが、 そちらは最後まで読み切っていません。 できないからです。

どれくらい違うのか、置き方の数を数えるとこうなります。 これは「多くてもこれくらい」という上からの見積もりで、 実際の試合はそろった時点で終わるのでもっと少なくなります。 それでも桁のちがいはこのとおりです。

3もくは6桁なので、 機械なら一瞬で全部数え切れます。 ところが5もくは121桁。桁が115増えるということは、10倍が115回かかるということです。

どれくらいかは、UUID とくらべると分かります。UUID は「世界中で二度と同じものが出ない」ように作られた印で、 ぜんぶで37桁あります。 5もくの置き方は、それよりさらに 84桁多いのです。 どんなに速い機械でも、最後まで数えることはできません。

だから広い盤の「さいきょう」は、最善を約束しません。 やっているのは「そろえられるならそろえる」「相手がそろえられるなら止める」 「あとはいまの形の良さで選ぶ」の3つだけです。先の先までは読んでいませんので、勝てることもあります。

⭐ この差そのものが持ち帰るものです ──「かんたんに見えるゲームでも、盤を少し広げるだけで、答えが出せなくなる」。将棋や囲碁のコンピュータが「読み切る」のではなく「うまく見積もる」作りになっているのは、 これと同じ理由です。

引き分けにするコツ

「さいきょう」には勝てませんが、引き分けにはできます。 やることは1つだけです。

• 自分がそろえられるなら、そろえる
• 相手があと1つでそろうなら、必ず止める
• そのどちらでもないときは、2か所同時にリーチをかけられる場所を探す

上の2つを一度も見落とさなければ、負けません。「ふつう」の相手はこの2つだけを見ています ── それでも、 うっかりすると負けてしまうはずです。

強さの中身

「さいきょう」だけにしなかった理由があります。 3もくで読み切る相手には絶対に勝てないので、それしか無いと一度も勝てません。 勝てる相手も置いてあります。

数え方

このページの数は、すべて盤を最後まで指して数えたものです。 空の盤から、置ける場所すべてに置いて、また置ける場所すべてに置いて……を 終わりまでくり返します。 出てくる盤面は 5,478通りしかないので、 今どきの機械なら一瞬で終わります。

だからこのページには「出どころ」の節がありません。よそから数字を持ってきていないからです。 数え方そのものがリポジトリの中にあり、単体テストが毎回それを走らせて、255,168通り・5,478通り・ 「最善どうしなら引き分け」を固定しています。

ここで数えているのは指し方（試合）の数であって、 盤の見た目の数ではありません。回したり裏返したりして同じになる形も、 別のものとして数えています。