15パズル・スライドパズル ── 解けないパターンを判定
24転倒数
3空きの行（下から）
24 ＋ 3 ＝ 27 → 奇数どう動かしても、ここは同じ
この盤は 1〜15 の順にそろえられます
手数 0
いまの盤: 1 2 3 4 / 5 _ 7 15 / 9 14 11 8 / 13 6 10 12。転倒数 24。空きの行 3。奇数。この盤は 1〜15 の順にそろえられます
空きと同じ行・列のこまを押すか、空きへ向けてなぞる
左上から順に、空白で区切って。空きは _
やってみる
1問目 / 全5問
ブラウザでそのまま遊べる 15パズル。1手ごとに転倒数と偶奇を数えて出します。解けないパターン（14 と 15 が逆の盤）も自分で作れるので、「どう動かしても偶奇が変わらない」を目で確かめられます。
盤を動かすと、数が動く
こまを1つ滑らせるたびに、転倒数を数え直します。 数は動いても、偶奇はどう動かしても同じです。
3×3 は転倒数だけ、4×4 は空きの行も足して見ます。
転倒数は、絵で数えられる
こまを左上から右へ、行ごとに読みます。大きい数が小さい数より前にある組を数えたものが転倒数。 この並びは (2, 1) と (5, 4) の 2 組です。
空きは数に入れません。そろった形は 0 です。
横の1手では、変わらない
7 を右へ滑らせても、こまを読む順番はそのまま。転倒数は 6 → 6で動きません。
横の1手は、空きとこまが場所を替えるだけです。
縦の1手は、2つ一緒に動く
8 を上へ滑らせると、読む順で3個を飛び越します。転倒数は 6 → 3（奇数だけ動く）。同時に空きの行も 3 → 2。
2つ一緒に動くので、足した偶奇は同じ。3×3 では2個しか飛び越さないので、転倒数だけで同じです。
解けないパターンとは（14-15 の盤）
そろった形で 14 と 15 だけを入れ替えると、転倒数 1・空きの行 1 で合わせて 2（偶数）。そろった形は 1（奇数）。偶奇が違うので、滑らせるだけでは行き来できません。
1879 年に Johnson と Story が証明しました（American Journal of Mathematics）。 論文の書き出しは「ボルティモアやフィラデルフィアで多くの人が頭をひねっている」。
解き方のコツ
上の段から順にそろえ（1・2）、最後の2段は左の列から縦に（3）、 残りの 4 ますで仕上げます（4）。
最後に 14 と 15 だけが逆なら、解けないパターン。1879 年の論文の手順も同じ考え方で、どの並びも「最後の2つが順か逆か」に落ち着きます。
3×3・4×4 で解けない配置
362,880 通りの並びを、そろった形から滑らせて行けるかどうか、 このページの単体テストが全部たどりました。行けるのは ちょうど半分の 181,440 通り。 転倒数の判定と 1 つも食い違いませんでした。
4×4 は 16!/2 ＝ 10,461,394,944,000 通りで、多すぎて数えていません。半分になる理由は上の論文が証明しています。
ここに出ている数は、すべてその場で計算したものです（14-15 の盤の転倒数 1 も、盤から数えています）。
よくある質問
15パズルが解けないパターンは？
左上から順に読んだときの転倒数と、空きの行（下から数える）を足した偶奇が、そろった形（0 ＋ 1 ＝ 1 で奇数）と違う並びです。いちばん有名なのが、そろった形で 14 と 15 だけを入れ替えた並びで、転倒数 1・空きの行 1 で合わせて 2（偶数）。どの2つを入れ替えても、解ける・解けないが裏返ります。
15パズルが解けないかどうかの判定は？
3つ数えるだけです。①こまを左上から右へ、行ごとに読んで並べる。②「大きい数が小さい数より前にある組」を数える（転倒数）。③空きが下から何行目かを足す。合計が奇数なら解けます。上の道具は、この3つを1手ごとに出します。「自分の並びを調べる」に並びを入れれば、動かさずに判定できます。
スライドパズルの 3×3 が解けないのはなぜ？
3×3 では転倒数が奇数の並びが解けません。縦に1つ滑らせても、こまは2個を飛び越すだけなので転倒数は偶数しか動かず、偶奇が変わらないからです。9! ＝ 362,880 通りをこのページの単体テストで全部たどると、そろった形に行けるのはちょうど半分の 181,440 通りでした。
スライドパズルの 4×4（15パズル）で解けない配置は何通り？
並びは全部で 16! ＝ 20,922,789,888,000 通りで、半分の 10,461,394,944,000 通りが解けません。ただしこの数は式から出したもので、4×4 は多すぎて数えていません。実際に全部たどって数えたのは 2×2 と 3×3 までです。半分になる理由は 1879 年の論文（Johnson と Story）が証明しています。
15パズルの解き方・コツは？
上の段から順にそろえ、最後の2段は左の列から縦にそろえていくのが基本です。1879 年の論文の手順も同じ考え方で、どんな並びも「最後の2つが順か逆か」のどちらかに必ず落ち着くことを示しています。最後に 14 と 15 だけが逆になったら、それは最初から解けない並びです。このページは解く手順を出す道具ではなく、解けるかどうかと転倒数を数える道具です。
転倒数とは？
左上から順に読んで、大きい数が小さい数より前にある組の数です。たとえば 3×3 で「2 1 3 5 4 6 7 8」と読める並びは、(2, 1) と (5, 4) の 2 組があるので転倒数 2。空きは数に入れません。横に滑らせても読む順番は変わらないので転倒数はそのままで、縦に滑らせると 4×4 では奇数だけ、3×3 では偶数だけ変わります。
スライドパズルで 15 だけ解けない（14 と 15 が逆になる）のはなぜ？
解けません。1879 年に Johnson と Story が American Journal of Mathematics に書いた "Notes on the '15' Puzzle" が、その理由を証明しています。盤をチェス盤のように塗り分けると、空きが元の場所に戻る手数は必ず偶数になるので、偶置換と奇置換のあいだは行き来できない、というものです。上の道具で「解けない盤にする」を押すと、この盤を実際に触れます。
自分の並びは、どう入れればいい？
左上から順に、空白で区切って入れます。空きは _ で、0 や - でも読めます。例: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 _。読める数が 4・9・16 個でないとき、同じ数が2回あるとき、空きが1つでないときは、その理由を出します。
15パズルを無料でブラウザで遊べる？記録は送られる？
遊べます。盤も転倒数も、お使いの機器の中だけで計算しています。何手動かしたか、どんな並びを入れたかは、どこにも送っていませんし保存もしていません。ページを閉じると消えます。