3Dサイコロをふる

ボタンを押すとサイコロが転がります。どの目が何回出たかを記録するので、 ふるほど公平さが目に見えてきます。

100回ふると、どの目もおよそ16.7回に近づきます

1回ごとの出目は当てられません。ところが何度もくり返すと、割合は落ち着きます。 6面なら、どの目もおよそ6分の1（16.7パーセント）に近づきます。 これを大数の法則といいます。 ヤコブ・ベルヌーイが『推測法（Ars Conjectandi）』 （1713年）の第4部で証明したものです。

「100回まとめて」を何度か押してみてください。 10回ふっただけのときはでこぼこだった棒が、 1000回、1万回とふるうちにそろっていくのが分かります。

でも「そろそろ6が出るころだ」は間違いです

サイコロは前に何が出たかを覚えていません。 6が3回続いても、次に6が出るのは やはり6分の1です。 出ていない目が「取り返しに来る」ことはありません。これはギャンブラーの誤りと呼ばれる、とても有名な思い違いです。

大数の法則が言っているのは割合のことで、回数のことではありません。 じつは、ふる回数を増やすと回数のずれはむしろ大きくなります。 6面をふったときの「理想からのずれ」の 目安は、次のように動きます。

回数を100倍にすると、回数のずれは10倍に広がり、割合のずれは10分の1に縮みます。 近づいているのは割合だけです。ここが、大数の法則でいちばん取り違えられるところです。

「乱数のあまり」で目を決めると、1から4がわずかに出やすくなります

ここが、このページでいちばん持ち帰ってほしいところです。 コンピュータで目を決めるとき、いちばん短く書ける方法は 「乱数を1バイト引いて、面の数で割ったあまりを使う」です。これはかたよります。

1バイトの乱数は0から255までの256通り。 これを6で割ると256 ＝ 6 × 42 ＋ 4で、割り切れません。 あまった4個ぶんだけ、 小さいあまりが1通り多く当たります。 全256通りを数えると、目1から目4は43通り、目5と目6は42通り。およそ2.4パーセントの差がつきます。

1回や2回では気づけません。だからこそ、気づかないまま配られてしまいます。 面の数によって、かたより方はこう変わります （この表は、この道具で振れない面数も並べています ── かたより方は面の数だけで決まるので、そちらのほうが見比べやすいからです）。

4面と8面だけ、差がありません。 理由は256が2を8回かけた数だからです。 2を何回かかけた数（4・8・16・…）でだけ きれいに割り切れて、それ以外では必ずあまりが出ます。面の数が2のべき乗かどうかで、かたよるかどうかが決まります。

252以上が出たら捨てて引き直す ── これで差が消えます

直し方はおどろくほど簡単です。割り切れる範囲だけを使えばいい。6面なら、0から251までの252通りは6で割り切れるので、 あまりを取っても6つの目にぴったり42通りずつ割り当たります。252以上（252・253・254・255）が出たときだけ、その値を捨ててもう一度引きます。 これを棄却（ききゃく）サンプリングといいます。

捨てることになるのは4／256、つまり1.6パーセントだけ。 ほとんどの場合は1回引けば決まります。 上の「出た目」のところに、実際に引いた乱数とその割り算を出しているので、 捨てて引き直したときはそれも見えます。手元の紙で検算してみてください。

持ち帰り: これはサイコロだけの話ではありません。乱数を「％（あまり）」で 小さい範囲に押し込めるときは、いつでも同じことが起こります。 くじ引き、シャッフル、 パスワードの1文字を選ぶとき。あまりを取る前に「割り切れるか」を確かめる── これが、このページのいちばんの持ち帰りです。

Math.random ではなく crypto.getRandomValues を使っています

目を決める乱数は、ブラウザの暗号用の乱数から取っています。 決まりの文には、 こう書かれています。

W3C の Web Cryptography API（新しいタブで開きます）は getRandomValues を 「generates cryptographically strong random values（暗号として強い乱数を作る）」 と定めています。 いっぽう JavaScript の言語仕様（ECMA-262）（新しいタブで開きます） が Math.random について書いているのは 「using an implementation-defined algorithm or strategy （どんなやり方で作るかは実装が決めてよい）」だけです。

つまり Math.random は、どれくらい良い乱数なのかを仕様が何も約束していません。 サイコロを1回ふるには じゅうぶんかもしれませんが、約束されているほうを使わない理由がありません。

正多面体は5種類しかありません ── サイコロの形が限られる理由

サイコロの面の数が好きに選べないのには、理由があります。どの面も同じ形・同じ大きさにできる立体は、たった5種類しかないからです。

これは新しい話ではありません。紀元前3世紀のユークリッド『原論』第13巻の最後に、 こう書かれています ──「no other figure, besides the said five figures, can be constructed which is contained by equilateral and equiangular figures equal to one another」（新しいタブで開きます）（いま挙げた5つのほかに、同じ正多角形だけでできた立体は作れない）。

理由も、その場で書かれています。 立体の角では、集まる角の合計が360度より小さい必要があります。ちょうど360度だと平らになってしまい、 それより大きいと折りたためないからです。

• 正三角形（60度）は3枚（180度）・4枚（240度）・5枚（300度）まで。 6枚だと360度でぺったんこ。 → 正四面体・正八面体・正二十面体
• 正方形（90度）は3枚（270度）まで。4枚だと360度。 → 立方体（正六面体）
• 正五角形（108度）は3枚（324度）まで。4枚だと432度で折れない。 → 正十二面体
• 正六角形（120度）は3枚でもう360度。どうやっても作れません

だから面の数は4・6・8・12・20の5つだけです。

この道具が転がすのは、そのうち6面と8面の2つです。 12面や20面も正多面体で、実物も売られています。ただ面が多いほど1枚が小さくなり、転がっている間に何が起きているのか 読み取れなくなります。 ここで見てほしいのは転がる様子なので、 面が少なくて動きが分かる2つに絞りました。

よく売られている10面ダイスは、5種類に入っていません（10がこの5つに無い以上、正多面体にはなりようがありません）。 あれはたこ形の面を10枚組んだ別の形で、どの面も同じ形にすることで公平さを保っています。 公平なサイコロが正多面体だけとは限らない、ということです。

ちなみに、向かい合う面の和が7になる並べ方は2通りあります。 回してもぴったり重ならない2種類で、鏡に映した関係です （このことは総当たりで確かめて、単体テストに固定してあります）。 お手元のサイコロと、この画面のサイコロが鏡像かもしれません。 上の展開図と見くらべてみてください。

three.js を使わずに、CSS だけで立方体を作っています

この立方体には3Dのライブラリを1つも使っていません。 正方形の板を6枚置いて、 CSS の transform-style: preserve-3d で立体として並べ、 回しているだけです。追加で読み込むファイルは0バイトです。

よく使われる three.js は、圧縮したあとでも86,590バイトあります （実際に測った値です）。立方体を1個転がすために読み込むには大きすぎます。 スマートフォンの電波が弱いところでは、その差がそのまま待ち時間になります。

出目は先に決めています。 転がる動きから目を読み取っているのではなく、 乱数で目を決めてから、その面が手前に来る向きへ回しているだけです。 こうしておくと、出た目が正しいかどうかを計算で検算できます （物理の計算から目を読む作りにすると、そこが試験できなくなります）。

正八面体も、同じ作り方で組んでいます

8面のサイコロも板を並べて回しているだけです。 立方体との違いは板の枚数と形と角度だけで、正三角形の板をclip-path で切って使っています。こちらも追加で読み込むファイルは0バイトです。

面の向きは計算で出しています。ただし向きを合わせるだけでは立体になりません── 板が面の中でてんでな角度を向いていると、辺どうしが噛み合わずに隙間だらけの塊になります。 ところが、それでも画面では「なんとなく立体っぽいもの」に見えてしまいます。 そこで板の四隅がどこへ行くかを計算して、本当の頂点と重なるか・辺の長さがそろっているか・ どの辺もちょうど2枚の面が共有しているかを試験で確かめています。 辺の数はオイラーの多面体定理（頂点 − 辺 + 面 = 2）で検算しました。

出どころ: 乱数の決まりは W3C Web Cryptography API（新しいタブで開きます） と ECMA-262（新しいタブで開きます）の原文、正多面体が5種類であることは ユークリッド『原論』第13巻 命題18 の注（新しいタブで開きます）（クラーク大学 D. E. Joyce による英訳）、 大数の法則はヤコブ・ベルヌーイ 『推測法（Ars Conjectandi）』（1713年）第4部です。 かたよりの通り数（43通りと42通り）は、256通りを全部数えた結果で、単体テストに固定してあります。