行列の計算

足し算・掛け算・行列式・逆行列を、途中の式ごと出します。A×B と B×A を並べて計算するので、 掛ける順番で答えが変わるところが見えます。

数の掛け算と違って、順番を変えると答えが変わります

数の掛け算は、3×5 も 5×3 も 15 です。順番はどうでもいい。 ところが行列はそうなりません。同じ2つを掛けても、 どちらを先にするかで別の答えが出ます。ここがこのページのいちばんの見どころです。

なぜかというと、行列の掛け算は「操作を続けてやること」を表しているからです。 上の道具に最初から入っている例で言うと、A は「よこに2倍のばす」、 B は「ななめの線（右上がりの45度の線）で折り返す」という操作です。

右へ1つ進んだ点、つまり (1, 0) がどこへ行くかを追いかけてみます。

• 先に折り返してから、のばす： (1, 0) は折り返して (0, 1) になります。 ここは「よこ」の値が0なので、よこに2倍しても動きません。 行き先は(0, 1)。
• 先にのばしてから、折り返す： (1, 0) はのびて (2, 0)。 これを折り返すと (0, 2)。 上に2つ進んだところです。

行き先が違います。なぜかというと、折り返したあとでは「よこ」が指す向きが変わっているからです。 のばす操作は「よこ」を2倍にするので、その「よこ」が入れ替わっていれば、 のびる方向も入れ替わります。

身近な言い方をすると、靴下と靴です。靴下をはいてから靴をはくのと、 靴をはいてから靴下をはくのでは、まったく違う結果になります。 行列の掛け算は、この「順番のある動作」を数で書いたものなので、入れ替えられないのが自然なのです。

計算できるかどうかも、順番で変わります

掛け算ができるのは、左の行列の「列の数」と、右の行列の「行の数」が同じときだけです。左の1行ぶんと右の1列ぶんを、先頭から順に掛けて足していくので、並ぶ数の個数が同じでないと相手のいない数が出てしまうからです。

だから、A×B は計算できるのに B×A は計算できないということが起きます。 両方できる場合でも、A が2行3列・B が3行2列ならA×B は2行2列、B×A は3行3列で、 中身をくらべる前に入れものの形が変わっています。 このツールは「計算できません」で止めずに、どの数字とどの数字が合っていないかを必ず書きます。

掛けると0になるのに、順番を変えると0にならない

もうひとつ、数では起きないことがあります。0でないもの同士を掛けて、0になることがあるのです。 上の道具の「掛けると0になる」の例がそれで、 A も B も0だらけではないのに、A×B は全部0になります。ところがB×A は0になりません。 0になるかどうかまで、順番で変わってしまいます。

行列式が0だと、逆行列はありません

逆行列というのは、掛けると単位行列に戻る相手のことです。 単位行列は、ななめに1が並んでほかは0の行列で、何に掛けても相手を変えないので、数でいう1にあたります。 だから逆行列は、数でいう「割り算」にあたるものです。

ところが、この相手が存在しないことがあります。目印になるのが行列式という1つの数で、これがちょうど0のとき、逆行列はありません。 逆行列を求める式は最後に行列式で割るので、0では割れないからです。

「2本あるように見えて、実は1本ぶん」ということ

連立方程式で見ると、何が起きているかがはっきりします。

x + 2y = 3
2x + 4y = 6

左の数だけ取り出すと、1, 2, 2, 4 が並ぶ2行2列の行列になります。 行列式は 1×4 − 2×2 でちょうど0です。 よく見ると下の式は上の式を2倍しただけで、2本あるように見えて、言っていることは1本ぶんしかありません。 だから x と y の組は1つに決まらず、無数にあります。

x + 2y = 3
2x + 4y = 7

今度は下だけ数字を変えました。するとどこまで行っても交わらない2本の平行な直線になり、 答えは1つもありません。 左の数は変えていないので、行列式はやはり0です。

つまり行列式が0というのは、2本の直線が平行になってしまって、交わる点が1つに決まらない（重なっていれば逆に多すぎる）という意味です。 3行3列なら、3枚の平面が1点で交わらず、線や面で重なってしまう形になります。

だからこのツールは、そこで0や、それらしい数を出しません。 0を出すと「逆行列の中身がぜんぶ0である」というまったく別の意味になってしまい、逆行列が無いという事実そのものが画面から消えます。 代わりに、無いことと、その理由と、どの行がほかの行から作れてしまっているかを出します。

小数のままだと、0であるはずの行列式が0になりません

コンピュータの小数には、よく知られた落とし穴があります。0.1 + 0.2 が 0.3 になりません。 実際に計算させると 0.30000000000000004 と出ます。 0.1 も 0.2 も、2進法では割り切れない数だからです。 ちょうど、10進法で 1÷3 が 0.3333… と終わらないのと同じことが、2進法で起きています。

これが行列では、答えの正しさではなく、答えの有る無しを取り違えさせます。次の行列を見てください。

0.1　0.3
0.3　0.9

2行目は1行目のちょうど3倍です。だから行列式は必ず0で、逆行列はありません。 ところが小数のまま 0.1×0.9 − 0.3×0.3 を計算すると、答えは 1.3877787807814457e-17 になります。 とても小さい数ですが0ではありません。 これを「0ではない」と読んだ計算機は、逆行列が無い行列に、堂々と逆行列を出します。

そこでこのページは、入力を分数（分子と分母の整数）に直してから計算します。 分数どうしの足し算と掛け算は整数の計算だけでできるので、途中で誤差が1つも出ません。 だから行列式が0かどうかを取り違えず、逆行列を掛けたときもぴったり単位行列に戻ります（0.9999… が出ません）。

丸めるのは、画面に小数で出すときだけです。 小数第4位で四捨五入し、そこで0になってしまう小さい値は有効数字4桁に切り替えます。 桁で丸めるだけだと 0.00001 が0 になり、「ちょうど0」という別の意味になってしまうからです。

行列は、いまの高校では数学Cに入っています

高等学校学習指導要領（平成30年告示）の数学Cは、(1) ベクトル、(2) 平面上の曲線と複素数平面、(3) 数学的な表現の工夫の3つでできていて、行列はこの(3)に出てきます。原文はこうです。

（イ）日常の事象や社会の事象などを，離散グラフや行列を用いて工夫して表現することの意義を理解すること。

解説のほうには、5人が「親しいと思うか」「信頼できると思うか」を答えた結果を行列で表して2つの行列の和を考える例や、 スマートフォンを選ぶときに「機能の重要度」と「製品の評価」を行列の積として計算する例が載っています。

ただし「必ず習う」とは言えません。学習指導要領は数学Cについて「内容の(1)から(3)までの中から適宜選択させるものとする」と定めているので、どこを扱うかは学校によって変わります。 ここで断定できるのは原文に書いてあることだけです。

逆行列まで出てくるのは「理数数学特論」

理数科という学科の科目「理数数学特論」には「(2) 行列とその応用」があり、扱う中身がはっきり決められています。

内容の（2）については，行列の表し方や演算，行列の積と逆行列，行列を用いた連立一次方程式の解法及び点の移動を扱うこと。

そしてその解説には、このページが本体にしていることが、そのまま注意点として書かれています。

行列の積に関しては，次の事柄に注意することが必要である。
① AB と BA は必ずしも等しくない。
② A≠0，B≠0 であっても AB＝0 となることがある。

①がこのページの掛け算の並べ方、②が「掛けると0になる」の例そのものです。 連立一次方程式のところにも「解が無数に存在する場合や解をもたない場合などの条件を扱う」とあり、逆行列が無いときに何が起きているかが学ぶ対象になっています。

出どころ: 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（新しいタブで開きます）の本文と付録から引きました。引用はすべて原文のままです。 各学校が実際にどの内容を開講しているかは、この資料からは分からないので書いていません。