統計の計算

数の列を貼ると、平均値・中央値・最頻値から四分位数と箱ひげ図まで出します。 四分位数は求め方が1つに決まっていません。 だからこのページは、どの求め方で計算したかを必ず画面に書きます。

同じデータなのに、Excel と教科書で四分位数が違います

1・2・3・4・5・6・7・8・9・10 の10個で試してみてください。 日本の教科書の方法だと、第1四分位数は3、第3四分位数は8、四分位範囲は5です。

ところが Excel の既定（QUARTILE.INC）は、 第1四分位数を3.25、第3四分位数を7.75、 四分位範囲を4.5と答えます。 もう1つの関数（QUARTILE.EXC）は2.75と8.25。 3つの答えが3つとも違います。

どれかが壊れているわけではありません。四分位数の求め方は1つに決まっていないのです。 それなのに計算ツールの多くは数字だけを出して、どの求め方かを書きません。 だから宿題の答え合わせで食い違って、原因が分からなくなります。

3つとも、やっていることは「何番目か」を決めているだけです

仕組みを開けてみると、3つの流儀は驚くほど似ています。どれも並べ替えたデータの「小さい方から何番目か」を1つ決めて、 その前後の値を比で混ぜているだけです。違うのは順位の決め方だけ。

だから「データによっては一致するのでは？」という疑問には、データを見なくても答えられます。 教科書の順位は（前半の個数−1）÷ 2、Excel の既定の順位は（個数−1）× 0.25。 この2つはデータの個数がいくつであっても、決して同じ値になりません（個数が偶数なら0.25、奇数なら0.5だけ、必ずずれます）。 同じ答えが出るのは、たまたま同じ値が並んでいるときだけです。

しかも、ずれ方には向きがあります。 第1四分位数は教科書のほうが小さく、第3四分位数は教科書のほうが大きい。 つまり教科書の箱は、Excel の既定の箱よりいつも広いのです。 順位にして、偶数個なら0.5個ぶん、奇数個なら1個ぶん広くなります。 だから四分位範囲はいつも教科書のほうが大きく出ます── 1〜10 なら 5 と 4.5、上の例題（9個）なら 7.5 と 5 です。

面白いのはQUARTILE.EXCとの関係です。 こちらはデータが奇数個のときだけ、教科書の答えとぴったり一致します。 偶数個だと必ずずれます。 上の例題（9個）でQUARTILE.EXCの値が教科書と同じなのは、偶然ではなく必然です。

学習指導要領自身が「幾つかの方法が提案されているが」と書いています

ここがこのページでいちばん伝えたいところです。教科書は、流儀を選んでいることを隠していません。中学校学習指導要領解説 数学編 の120ページには、こう書かれています。

なお，四分位数を求める方法として幾つかの方法が提案されているが， ここでは四分位数の意味を把握しやすい方法を用いる。

続く121ページに、その「意味を把握しやすい方法」が例で示されています。23、24、25、26、26、29、30、34、39 の9つの値。 中央値は5番目の26。 そして「この5番目の値の前後で二つに分けたときの、1番目から4番目までの値のうちの中央値24.5を第1四分位数、6番目から9番目までの値のうちの中央値32を第3四分位数とする」。四分位範囲は 32 − 24.5 ＝ 7.5 です。

大事なのは「5番目の値の前後で」という言い方です。 データが奇数個のとき、真ん中の値はどちらの組にも入りません。 ここを取り違えると答えが変わります。

「どれが正解か」を1つに決めないのは、いいかげんだからではありません。データを4等分する切れ目は、そもそも1点には決まらないからです。 10個のデータを4等分しようとすると、切れ目は2.5個目に来ます。2.5個目のデータは存在しないので、 誰かが「では前後をどう混ぜるか」を決めるしかありません。 流儀が複数あるのは、その決め方が複数あるというだけのことです。

分散は n で割ります ── 高校で習うのはこちらです

分散でも同じ迷いが起きます。個数 n で割るのか、n−1 で割るのか。日本の高校（数学Ⅰ「データの分析」）で習うのはn で割るほうです。

高等学校学習指導要領解説 数学編 理数編 の44ページに、「各データと平均値の差の2乗の和…及び、これらのそれぞれをデータの総数で除した値」とあります。データの総数、つまり n です。

さらに、この解説を全319ページ探しても「不偏」ということばが1回も出てきません。 n−1 で割る不偏分散は、高校の教科書が扱う範囲の外にあります。

では n−1 は間違いなのかというと、そうではありません。目的が違います。手元のデータそのものの散らばりを知りたいなら n。 手元のデータをもっと大きな集団から取り出した一部（標本）とみて、 その大きな集団の散らばりを言い当てたいなら n−1 です。 n で割ると、標本の散らばりは本物よりいつも少しだけ小さめに出るので、 割る数を1つ減らして埋め合わせます。

表計算ソフトでVAR.P と VAR.S の2つがあり、 電卓に σ と s の2つのキーがあるのは、この2つを区別するためです。学校の宿題なら、ふつうは n のほうです。

箱ひげ図の「ひげ」は、どこまで引くのか

箱ひげ図の箱は第1四分位数から第3四分位数までで、 この幅が四分位範囲です。 箱の中に、真ん中のおよそ半数が入っています。中の縦線が中央値です。

ひげは、中学校で習う形では最小値と最大値まで引きます。 ところが高校の数学Ⅰでは外れ値を扱うので、別の描き方も出てきます。 高等学校学習指導要領解説 数学編 理数編 の47ページは、外れ値を「通常四分位範囲の1.5倍以上離れた値」とし、 その場合は「第1四分位数−1.5×四分位範囲」までの最小値からひげを引く、と説明しています。

同じ絵に見えて、ひげの意味が違うわけです。 このツールの図は中学校の形（最小値から最大値まで）にして、 外れ値は図の下に文字で示しています。 2つの流儀を1枚に混ぜると、どちらの図なのか分からなくなるからです。

外れ値は「間違い」という意味ではありません

ここは覚えておくと得をするところです。同じ47ページに、こう書いてあります。「測定ミス・入力ミスなど原因が分かっているものは『異常値』と呼び、外れ値と区別する」。

つまり外れ値は、消していい値ではありません。 解説はさらに「外れ値は除外すべき値と捉えがちだが、その背景を探ることも大切である」 と書き、売上がとびぬけて良い販売員の例を挙げています。その人の工夫を調べれば、全体を良くする手がかりになるからです。 だからこのツールは、外れ値を見つけても計算から外しません。 知らせるだけにしています。

いつ習うのか（学年の目安）

統計の内容は、小学6年から高校まで少しずつ積み上がるように並んでいます。 いま手元の問題がどこに当たるのかが分かると、使ってよい道具もはっきりします。

この表の出どころ（すべて文部科学省の学習指導要領解説）:

• 小学6年：小学校学習指導要領解説 算数編 p.11「第６学年 ○平均値，中央値，最頻値，階級←中学校第１学年から」
• 中学1年：中学校学習指導要領解説 数学編 p.120「第１学年では，ヒストグラムや相対度数などについて学習している」
• 中学2年：中学校学習指導要領解説 数学編 p.120「第２学年では，これに加えて四分位範囲や箱ひげ図を学習する」
• 中学3年：高等学校学習指導要領解説 数学編 理数編 p.43「第 3 学年では，母集団から標本を取り出し…」
• 高校 数学Ⅰ：高等学校学習指導要領解説 数学編 理数編 p.43「（ア）分散，標準偏差，散布図及び相関係数の意味やその用い方を理解すること」

表の見どころは中学2年と高校の間です。 四分位範囲と箱ひげ図は中学2年で習うのに、分散と標準偏差は高校まで出てきません。 実際、中学校学習指導要領解説 数学編の全229ページを探しても、「分散」も「標準偏差」も1回も出てきません。 中学生が散らばりを表すときに使うのは、範囲と四分位範囲です。

数値と引用の出どころ: 四分位数の求め方と箱ひげ図の定義は中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編（新しいタブで開きます）の120〜121ページ、分散の割り方と外れ値は高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編（新しいタブで開きます）の43〜44ページと47ページ、小学6年で習う代表値は小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編（新しいタブで開きます）の11ページから取りました。 Excel の2つの関数の違い（端を含むか含まないか）はMicrosoft のドキュメント（新しいタブで開きます）によります。「不偏」「分散」「標準偏差」ということばが何回出てくるかは、 上の PDF の全文を機械で数えた結果です。 例題の値と、3つの流儀の関係 （教科書と Excel の既定は順位が決して一致しない・QUARTILE.EXCとは奇数個のときだけ一致する）は、 単体テストで固定してあります。