消したけたを、言い当てる

好きな数のけたを並べかえて引くと、答えは必ず9の倍数になります。 だから1けた消してもらっても、残りから消したけたが分かります。

10 を 9 で割ると、1 余ります

ここがすべての出発点です。10 ÷ 9 は 1 余り 1。 100 も 1000 も同じで、10を何回かけても9で割った余りは1のままです。

ということは、ある数字が百の位にあっても一の位にあっても、 9で割った余りへの効きかたは同じ、ということです。

5271 ＝ 5×1000 ＋ 2×100 ＋ 7×10 ＋ 1
9で割った余りは 5 ＋ 2 ＋ 7 ＋ 1 ＝ 15 の余りと同じ（15 ÷ 9 は 1 余り 6）

これが「けたを全部足して9の倍数なら、その数は9の倍数」という見分け方の正体です。

並べかえても、足す数は変わりません。 だからもとの数と並べかえた数は9で割った余りが同じ。 余りが同じ数どうしを引けば、差はぴったり9で割り切れます。

この道具は、3けたの数900個を並べかえ方も全部（5400通り）、4けたの数9000個も同じく（216000通り）ためしています。割り切れなかったものは0件です。

⭐ 0 を消されると、9 と見分けがつきません

残りを足した数がすでに9で割り切れているとき、 「足りないぶん」は0になります。 ところが0を足しても9を足しても、9の倍数のままです。

900 から 0 を消す → 残りは 9・0 → 足して9
909 から 9 を消す → 残りは 0・9 → 足して9
こちらから見ると、まったく同じです。

だから「0 以外の数字を消してね」と先に言います。 この道具は、0を消されたときに当たったふりをしません。 「0 か 9 のどちらかです」と出したうえで、本当はどちらだったかも見せます。 上で試してみてください。

その一言は、どのくらい要るのか

「まれな例外だから気にしなくていい」とは言えません。 答えが4けたになったとき、9の倍数1000個のうち271個には0が入っています。

けたが増えるほど、0 が混ざる見込みは上がります。大きい数でやるほど「0 以外を消してね」の一言が効いてきます。

⭐ 9 なのは、10進法だからです

「なぜ9なんだろう」と思ったら、そこが分かれ目です。9 は 10 より1つ小さい数 ── つまりこの手品の9は、10進法の都合で決まっています。

同じ理屈はほかの基数でも成り立ちます。8進法なら8 − 1 ＝ 7の倍数、16進法なら16 − 1 ＝ 15の倍数です。

「9で割った余りは、けたを足した数の余りと同じ」も同じ形で言えます。16進法なら「けたを足して15の倍数なら、その数は15の倍数」。 ふだん当たり前に使っている9の見分け方が、10進法を使っているからそうなっているだけだと分かります。

出どころ

この手品は九去法（きゅうきょほう）と呼ばれる計算の検算法と同じしくみです。日本語の解説ページが、すでによく書けているネタです。たとえばひげおじさんの「おうち実験」ラボ「あいてがえらんだ数字をあてる!『九去法』」（新しいタブで開きます）は、並べかえ方が何でもよいことも、「0 以外の数字を選んでね（9 と 0 の区別ができないから）」という注意も、きちんと書いています。

このページが足しているのは、その先です ── 0 を消したときに実際に何が起きるかを動かして見せること、その一言が要る割合を数えたこと、9 が10進法の都合であることを、ほかの基数で確かめたこと。

このページの数は、式からだけでは出していません。 3けたと4けたの数を、並べかえ方も全部ふくめて221400通り引き算して、 割り切れなかったものを数えた結果です（0件）。