1089 の不思議
例
524
524 − 425 ＝ 099
099 ＋ 990 ＝ 1089
見本
どうひっくり返すか3けたでは、どちらも同じことです
- 1. はじめの数
- 524
- 2. ひっくり返した数
- 425
- 3. 大きいほうから小さいほうを引く
- 0993けたに足りないので、先頭に0を足しました
- 4. 差をひっくり返す
- 990
- 5. 3と4を足す
- 099 ＋ 990
10893けたの数はどれでも1089になります
よくある質問
どうやるのですか？
3けたの数を1つ決めてもらいます（例: 524）。その数をひっくり返した数（425）との差をとり、その差をまたひっくり返して足す ── それだけです。答えは1089になります。相手の数を聞かなくても答えが分かるので、先に紙に1089と書いて伏せておけます。
なぜいつも1089になるのですか？
まん中のけたが引き算で消えるからです。3けたの数は「100×a ＋ 10×b ＋ c」と書けます。ひっくり返した数は「100×c ＋ 10×b ＋ a」なので、引くと 10×b どうしが消えて、差は 99×(a − c) になります。つまり差は9通りしかありません（99・198・297・396・495・594・693・792・891）。この9つはどれも、ひっくり返して足すと1089になります。始めの数がどれであっても、通り道はこの9本のどれかです。
「最初と最後の数字の差が2以上」と書いてあるページがありますが？
その条件は要りません。差が1のとき、引き算の答えは99になります。これを3けたの数として「099」と書けば、ひっくり返して990、足して1089です。条件を付けている解説は、先頭に0を足す一手を飛ばしているだけです。この一手が要る数は810通りのうち170通り（およそ21%）あるので、まれな例外ではありません。
できない数はありますか？
はじめの数字と終わりの数字が同じ数だけができません（90通り）。ひっくり返しても同じ数なので、差が0になってしまいます。それ以外の810通りは全部できます ── このページはその810通りを実際に全部計算して確かめています。
4けたの数でもできますか？
ひっくり返し方によります。全部ひっくり返す（1234 → 4321）と、4けたでは答えが4通りに散らばって1つに決まりません。ところがいちばん上といちばん下だけ入れ替える（1234 → 4231）なら、4けたでも1つに決まって10989になります。5けたなら109989です。上のボタンで切り替えて確かめられます。
手品として、どう見せればいいですか？
先に紙へ1089と書いて、伏せて置いておきます。相手には「3けたの数を思いうかべて、ひっくり返した数との差をとって、その差をひっくり返して足してください」と伝えるだけです。相手の数は一度も聞きません。それでも当たるところが見せ場です。差が99になったときに「099」と3けたで書いてもらう必要があるので、そこだけ「けたが足りなければ0を書いてね」と先に言っておくと止まりません。
3けたの数をひっくり返して引く。その差をひっくり返して足す。 これだけで、どの数から始めても答えは1089になります。 相手の数を聞かなくても、答えは先に分かっています。
まん中のけたは、引き算で消えます
3けたの数は「100×a ＋ 10×b ＋ c」と書けます。 ひっくり返した数は「100×c ＋ 10×b ＋ a」。 引き算すると、10×b どうしが打ち消し合って消えます。
(100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) ＝ 99 × (a − c)
つまりまん中の数字は答えに関係ありません。 効くのは、はじめの数字と終わりの数字の差だけです。
差は9通りしかありません
a − c は1から9までなので、差になりうる数は9通りだけです。
99 198 297 396 495 594 693 792 891
この9つを見ると、まん中はどれも9で、両はしを足すと9になっています（0＋9・1＋8・2＋7…）。 だからひっくり返して足すと、百の位が9、十の位が9＋9＝18、一の位が9 ── 繰り上がって1089です。
1089は99 × 11でもあります。 99 は「ひっくり返して引く」で出てくる数、 11 は「その差をもう一度ひっくり返して足す」ぶんです。
⭐「最初と最後の差が2以上」という条件は要りません
この手品を紹介しているページは、たいてい「最初と最後の数字の差が2以上になるように」と条件を付けています。その条件は要りません。
差が1のとき、引き算の答えは99になります。 ここで手が止まるのは、99 が2けたに見えるからです。 3けたの数として「099」と書けば、ひっくり返して 990、足して1089 ── そのまま続きます。
213 → 312 − 213 ＝ 099（先頭に0を足す）
099 ＋ 990 ＝ 1089
この一手が要る数は、できる810通りのうち170通り（およそ21%）あります。まれな例外ではありません。条件を付けて避けているページは、5本に1本以上の数を捨てていることになります。
できないのははじめと終わりの数字が同じ90通りだけです。 ひっくり返しても同じ数なので、差が0になります。 残りの810通りは全部できます ── このページはその810通りを実際に計算して確かめています。
⭐ けた数を増やすと、ひっくり返し方で結果が分かれます
「では4けたでは？」と思ったとき、ひっくり返し方が2通りあることに気づきます。
- 全部ひっくり返す（1234 → 4321）
- いちばん上といちばん下だけ入れ替える（1234 → 4231）
3けたでは、この2つは同じ操作です。だから3けたの話をしているうちは、 どちらのつもりでいたかを考えなくてすみます。4けたで初めて分かれます。
| けた数 | 全部ひっくり返す | 端だけ入れ替える |
|---|---|---|
| 2けた | 99 | 99 |
| 3けたこの手品 | 1089 | 1089 |
| 4けた | 1つに決まりません（4通りに散らばる） | 10989 |
| 5けた | 1つに決まりません（4通りに散らばる） | 109989 |
端だけ入れ替えるほうは、けた数がいくつでも1つに決まります。まん中のけたが全部そのまま残って、引き算で消えるからです。 3けたのときに「まん中の b が消える」と言ったのと、まったく同じことが起きています。
全部ひっくり返すほうは、4けた以上でばらけます。まん中の2けたも入れ替わってしまうので、そこも引き算に効いてくるためです。 「1089 の4けた版」を探して全部ひっくり返してみると、答えが揃わなくて戸惑うのは、これが理由です。
1089 そのものが、変わった数です
1089をひっくり返すと9801で、これは1089のちょうど9倍です。
4けたの数のうち、ひっくり返すともとの数の整数倍になるものは、 全部で2つしかありません。
| 数 | 何倍 | ひっくり返した数 |
|---|---|---|
| 1089 | 9倍 | 9801 |
| 2178 | 4倍 | 8712 |
⭐ 1089は33 × 33でもあります。 同じ数どうしをかけた形（平方数）で、 しかもひっくり返した 9801 も 99 × 99 です。
出どころ
この題材は、日本語では清和隼弥・登野皓志「教材『1089の不思議』に関する一考察」（学芸大数学教育研究 第36号・2024年・31〜43ページ）（新しいタブで開きます）にくわしく調べられています。この論文は条件を「百の位が一の位よりも大きい」としているだけで、 「差が2以上」とは言っていません。けた数を増やしたときに端だけ入れ替えると、答えが「9 がならんだ数 × 11」（3けたなら 99 × 11 ＝ 1089、4けたなら 999 × 11 ＝ 10989、5けたなら 9999 × 11 ＝ 109989）になる ことも、この論文にあります。
2つしかない、というのも同じ論文の記述です。写さずに、4けたの9000通りを実際に調べて確かめました。
1089を題名にした一般向けの本もあります ──David Acheson「1089 and All That: A Journey into Mathematics」（Oxford University Press・2002年）（新しいタブで開きます）。上の論文もこの本を引いています。
このページの数は、式からだけでは出していません。3けたの900通り・4けたの9000通り・5けたの9万通りを実際に計算して、 答えが何通りに散らばるかを数えた結果です。