ファローシャッフル

トランプをきっちり半分に分けて、1枚ずつ交互に組む。 これを8回くり返すと、並びが元どおりになります。 枚数を変えると回数がまるで変わるので、その場で確かめられます。

混ぜているのに、戻ってしまう

カードを混ぜるのは、ふつう順番を分からなくするためです。 ところが「完全に」混ぜると、そうはなりません。きっちり半分に分けて、1枚ずつ交互に組む── この混ぜ方には、混ざり方の選択肢がまったくありません。

やり方が1通りしかないものは、くり返せば必ず元に戻ります。札の枚数は決まっているので、並び方の種類も決まっています。 同じ手順をくり返していけば、 いつか前に見た並びに戻る ── そして戻ったなら、そこから先も同じ道をたどります。 だから輪になるのです。

ふつうのシャッフルで元に戻らないのは、毎回ちがう混ぜ方をしているからです。 同じことをしているつもりでも、 指の運びは毎回ちがいます。この手品がうまくいくかどうかは、混ぜる腕前で決まります。

なぜ8回なのか ── 位置が2倍になっていく

上から2番目の札を目で追ってみてください。 アウトで1回混ぜると、3番目へ移ります。 もう1回で5番目、次は9番目。

規則が見えます。上から数えた位置（0から数える）が、毎回2倍になるのです。 0番目の札は0番目のまま（だからアウトではいちばん上が動かない）、 1番目は2番目、2番目は4番目…と進みます。

では、いつ元に戻るのか。52枚のとき、いちばん上といちばん下の2枚は動きません。 動くのは間の51枚ぶんで、位置は51で割った余りとして輪になります。

だから知りたいのは、2を何回かけたら、51で割った余りが1になるかです。

2¹=2、2²=4、2³=8、2⁴=16、2⁵=32、2⁶=64（余り13）、2⁷=128（余り26）、2⁸=256（余り1）。
256 = 51 × 5 + 1。だから8回で戻ります。

⭐ ジョーカーを2枚足すと、8回が52回になります

ここがいちばん面白いところです。同じ混ぜ方なのに、札を2枚足しただけで6.5倍かかるようになります。

理由は、割る数が51から53に変わるからです。 51のときは2を8回かければ余りが 1になりましたが、53のときは52回かかります。この回数は、枚数ごとにばらばらに決まります。だんだん増えるのでも、枚数に比例するのでもありません。

上の表を見ると、50枚は21回、52枚は8回、54枚は52回です。となりの枚数どうしで、まったくそろっていません。

トランプが52枚なのは、この手品のために決められたわけではありません。それでも、まわりの枚数とくらべて飛び抜けて少ない回数で戻ります。手品にとっては、たまたまとても都合のよい枚数でした。

1枚ずれるだけで、話が変わります

アウトはいちばん上の札が上のまま、インは上から2番目に入る ── ちがいはそれだけです。ところが52枚だと、アウトは8回、インは52回かかります。

アウトでは端の2枚が動かないので、輪の長さが51になります。 インでは端が動くので、 輪の長さは53です。 割る数が51か53かで、これだけ変わります。

54枚では逆転します（アウト52回・イン20回）。 どちらが速いかは枚数で入れかわるので、 「インのほうが時間がかかる」とは言えません。

出どころ

8回で戻ることと、その理由（2を8回かけると51で割った余りが1になる）は、Harvey Mudd College「Math Fun Facts — Perfect Shuffles」（新しいタブで開きます）に載っています。出どころが perfect shuffle と呼んでいるこの混ぜ方は、 日本語ではファローシャッフルとも呼ばれます。

このページの回数は、式からだけでは出していません。実際に札を並べて混ぜ、元に戻るまで数えた結果と突き合わせてあります。 式のほうが間違っていても気づけるように、両方から出して比べる検査を置いています。