誕生日当てカード

数字のカードを1枚ずつ見せて、「この中にありますか」と聞くだけ。6回聞けば、1〜63のどの数でも当てられます。 誕生日（何日生まれか）なら5枚で足ります。

2の累乗の足し算は、1通りしかありません

どんな数も、1・2・4・8・16…の足し算で作れます。 しかも作り方は1通りだけです。

11 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 8
20 ＝ 4 ＋ 16
63 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32

カードは、この足し算にその数が要る数を集めたものです。 1のカードには 1が要る数（＝奇数）、2のカードには 2が要る数、というふうに。

だから「ある」と言われたカードのはじめの数を足すと、もとの数がそのまま戻ってきます。 これはコンピュータが数を持っているやり方 ── 2進法そのものです。

1〜63 では、どのカードにもちょうど32個の数が載ります。 63個のうち半分です。「ある」と「ない」がどちらも同じくらい起きるので、 1回の質問がいちばんよく効いている形になっています。

何枚あればいいのか ── 1回で2通り

1回の質問で分かるのは「ある / ない」の2通りです。 だから6回聞けば 2を6回かけた64通りまで見分けられます。

半分ずつ探すのページと同じ考え方です。1回で2つに分けられるものは、回数を1つ増やすたびに、扱える数が2倍になります。

⭐ 範囲がちょうどでないと、ありえない答え方が出ます

1〜63 のときは、答え方が64通りで、当てたい数が63個。差はたった1通り（＝「全部ない」）です。 ぴったり使い切っています。

ところが1〜100 にすると、カードは7枚 ── 128通りの答え方に対して、当てたい数は100個しかありません。 余った28通りは、そう答えられてもあてはまる数が無い組み合わせです。

1通り: 全部「ない」（足すと0になる。1から始まる範囲に0は無い）
27通り: 足すと100を超える（全部「ある」なら127）

1〜63 や 1〜31 がよく使われるのは、これが理由です。2を何回かかけた数から1を引いた数（7・15・31・63・127・255）なら、答え方をぴったり使い切れます。

⭐ 0 だけは当てられません

0 は、どのカードにも載りません。 1・2・4・8…をどれも足さなければ 0 なので、当然といえば当然です。

困るのは、「全部ない」と言われたときです。 相手が0を思いうかべたのか、それとも押しまちがえたのかを、こちらから見分けられません。このカードが1から始まっているのは、そのためです。

この道具は、そういうときに0 とは答えません。 「その押し方になる数はありません」と出します。 答えの出せないものに、 それらしい数を出さないためです。

「21枚のカード」とくらべると

21枚のカードの手品は、「どの山にあるか」を聞きます。 答えは3通りなので、1回の質問で分かる量は こちらより多く、3回で27通りまで見分けられます。

こちらは1回で2通りなので、同じ3回では8通りしか分かりません。 そのかわり、相手は「ある」「ない」を言うだけで済み、 カードも紙に書くだけで作れます。1回あたりの情報が少ないほうが、道具は簡単になります。

出どころ

このページの数は、どこかから写したものではありません。カードの中身も、枚数も、ありえない答え方の数も、その範囲の数を全部計算して出しています。

1〜63 の63通りすべてで、 「その数が載っているカード」→「はじめの数を足す」と往復して、もとの数に戻ることを確かめる検査を置いています （食い違いは0件）。 1〜255 まで同じ検査を通しています。