21枚のカードで、えらんだ札を当てる

21枚を3つの山に配って、えらんだ札のある山をまん中にして重ねる。 これを3回やると、その札は上から11番目に来ます。 相手に聞くのは「どの山にあるか」だけです。

相手は何も言っていないのに、当たってしまう

この手品で相手が教えてくれるのは、「3つの山のうちどれか」だけです。 札の名前も、色も、数字も言いません。それなのに当たります。

からくりは、山を聞いた時点で、ありかがかなり絞れているところにあります。21枚を3つに配ると、1つの山は7枚。 山が分かった瞬間に、21枚あった候補は7枚に減っています。

しかも、山の中での順番はそのまま残っています。 1枚ずつ順ぐりに配ったので、山の中の並びは配る前の並びの順番どおりです。 だから「どの山か」を聞くだけで、「どの山の、上から何枚目か」までの情報が手に入ります。

まん中に入れると、候補がまん中へ寄っていきます

聞いた山をまん中にして重ねるのが、この手品の全部です。 まん中に置くと、その山の上には7枚がまるごと乗ります。だから札の新しい場所は「7 ＋ 山の中で上から何枚目か」になります。

山の中の枚数は7枚しかないので、この計算で行ける場所も7通りしかありません。 つまり21通りが7通りに減ったということです。 もう一度配れば、その7通りがさらに3分の1に減ります。

配る前: 上から1〜21番目（21通り）
1回目のあと: 上から8〜14番目（7通り）
2回目のあと: 上から10〜12番目（3通り）
3回目のあと: 上から11番目（1通り）
3回目で1通り ── 上から11番目に決まります。

この11番目は、21枚のちょうどまん中です。偶然そうなったのではありません。まん中に入れ続けているので、行き着く先もまん中になります。

なぜ3回でいいのか ── 3×3×3 ＝ 27

1回聞いて分かるのは3通りぶんです（1つ目・2つ目・3つ目の山）。 だから2回聞けば3×3で9通り、3回聞けば3×3×3で27通りまで見分けられます。

21枚は27通りに収まっているので、3回で足ります。 逆に9通りでは21枚に足りないので、2回では当たりません。 上の道具で2回で止めてみると、候補が3通り残ったままなのが見られます。

⭐ ここから、27枚でも3回で当たることが分かります。21枚から6枚増えても、27通りの中に収まっているからです（27枚のときは上から14番目）。 枚数を増やしても、すぐには回数が増えません。

⭐ 3の倍数なら何枚でもできる、ではありません

「3で割り切れれば同じやり方でできる」と書いてある解説を見かけます。実際に配って数えると、そうはなりません。

山が偶数枚になる枚数（12枚・18枚・24枚・30枚）では当たりません。候補は2通りまで減りますが、そこで止まります。 あと1回、あと2回とくり返しても、その2通りは永久に減りません。

止まる理由は、行き先が2か所とも「自分自身」になってしまうからです。 まん中に入れる操作は、候補をまん中へ引き寄せる働きをします。 山が奇数枚なら、 引き寄せられる先はまん中の1枚に決まります。 ところが山が偶数枚だと、まん中がちょうど2枚のすきまになるので、両どなりの2枚がどちらも動かなくなります。

上の表で枚数ごとの結果を出しています。この表の数字は手で書いたものではありません。その枚数で実際に配って重ねる手順を回して、候補が1つに決まるかどうかを数えた結果です。

出どころ

山が奇数枚のときにだけ成り立つことと、行き着く先がまん中（枚数を p×q とすると (pq+1)÷2 番目）になることは、Champanerkar & Jani「Stable Fixed Points of Card Trick Functions」（arXiv:1308.3396・ 2013年）（新しいタブで開きます）で示されています。この論文はp も q も3以上の奇数という条件を置いていて、 偶数のときは扱っていません。 このページは、その偶数のときに何が起きるかを、 実際に配って数えて出しています。

1回目のあとが上から8〜14番目、2回目のあとが上から10〜12番目になることは、英語版 Wikipedia「Twenty-One Card Trick」（新しいタブで開きます）にも同じ数字が載っています（27枚のときに14番目になることも同じ）。

このページの回数と場所は、式からだけでは出していません。実際に21枚を配って重ねる手順をそのまま動かし、21通りの選び方すべてで同じ場所に来ることを確かめた結果と突き合わせてあります。 式のほうが間違っていても気づけるように、両方から出して比べる検査を置いています。